Признаки делимости чисел: где мы их применяем в жизни
# хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Начав писать посты про числа, никак не могу остановиться, настолько это интересная тема. После статьи (ссылка) о том, что значат числа в нашей жизни, я получила от нашего постоянного читателя и автора постов подписчика такой отклик.Начав писать посты про числа, никак не могу остановиться, настолько это интересная тема. После статьи ( ссылка ) о том, что значат числа в нашей жизни, я получила от нашего постоянного читателя и автора постов подписчика такой отклик.
Вот я и решила напомнить нашим читателям, как школьникам, так и взрослым, признаки делимости чисел от самых простых, известных со школы, до незнакомых (во всех признаках будем иметь ввиду натуральные числа).
Пример: число 2742, сумма его цифр 2+7+4+2 = 15. 15 делится на 3, но не делится на 9. Значит, и число 2742 делится на 3 и не делится на 9.
Пример: число 12456 делится на 4, поскольку делится на 4 число 56. А число 7906 не делится на 4, так как не делится на 4 число 06, т.е. число 6.
Признак делимости на 11 (интересно, но более сложно). Для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делилась на 11.
Пример: Узнаем делится ли число 93 753 на 11? Алгебраическая сумма:
3 – 5 + 7 – 3 + 9 = 11. Поскольку число 11 делится на 11, то и число 93 753 делится на 11.
Пример: Делится ли число 254 390 815 на 7? на 13?
В заключении я хотела бы вспомнить игру в общественном транспорте в « счастливое число ». Счастливый билет — поверье и математическое развлечение, основанное на нумерологической игре с номером проездного билета (Википедия).
Счастливым считается полученный в общественном транспорте билет, в шестизначном номере которого сумма первых трёх цифр совпадает с суммой трёх последних (например: 268736, 581185, 229922, 111111 ). Общее число шестизначных номеров, порождающих счастливые билеты, равно 55251 (55252, если учитывать билет с номером 000000), то есть в среднем примерно один билет из восемнадцати является счастливым.
Игры с использованием счастливых билетов часто применяются в школе для обучения детей устному счёту. А с устным счётом у многих современных школьников сегодня проблемы (особенно у старшеклассников).
А вообще, я считаю, что в любом возрасте считать в уме очень полезно. Может быть, у вас тоже есть свои игры с числами? Пишите в комментариях!
# хакнем_математика 👈 подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике 🥳
Автор : # ирина_чудневцева 41 год, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.
Дроби с кратными от 1 до 5
На единицу делится любое целое число.
Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.
Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.
Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.
Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388. Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка. Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.
Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.
Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.
Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.
Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.
Свойства делителей от 6 до 10
Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.
Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.
Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.
Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:
Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.
В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:
Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.
Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.
Разрядные единицы
Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль. Еще примеры:
Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.
Делители от 11 и выше
Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.
Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.
Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:
Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:
В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:
Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.
Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.
Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.
Например, 6942:
Еще пример — 754:
Признак делимости на составное число
Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.
Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.
Таблица кратных от 2 до 10
Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:
| Делимость на: | Признак числа: |
| 2 | Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8 |
| 3 | Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3 |
| 4 | Две последние цифры делятся на 4 |
| 5 | Окончание на 5 или 0 |
| 6 | Одновременная кратность 2 и 3 |
| 8 | Три последние цифры кратны 8 |
| 9 | Сумма цифр кратна 3 |
| 10 | Окончание равно нулю |
Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.
Исследовательская работа «Признаки делимости чисел»
Если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость и на другие числа.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя школа №2 имени Героя России Валерия Иванова»
города Волжска Республики Марий Эл
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
Работу выполнили ученицы 6 класса
Елисеева Надя, Матвеева Катя
Поливина Любовь Викторовна,
учитель математики 1 кв. категории
Признаки делимости на 2…………………………………..…………. 8
Признаки делимости на 3…………………………………………….…8
Признаки делимости на 4……………………………………………….8
Признаки делимости на 5……………………………………………….8
Признаки делимости на 6………………………………………. ……..8
Признаки делимости на 7……………………………………………. 9
Признаки делимости на 8……………………………………………. 9
Признаки делимости на 9……………………………………………. 9
Признаки делимости на 10……………………………………………. 9
Признаки делимости на 11…………………………………………….10
Признаки делимости на 12……………………………………………. 10
Признаки делимости на 13……………………………………. ………11
Признаки делимости на 14……………………………………………..11
Признаки делимости на 15…………………………………………. 11
Признаки делимости на 19………………………………………. 11-12
Признаки делимости на 25………………………………………. ……12
Признаки делимости на 50…………………………………………….12
Заключение……………………………………………………………………..13 Список используемой литературы …………………………………………. 14
Изучая на уроках математики тему «Делимость чисел», мы познакомились с признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, узнали, какие числа являются простыми и составными. У нас возникли вопросы: «А существуют ли признаки делимости на другие числа?». Так появилась идея начать работу над учебным проектом «Признаки делимости», в создании которого приняли участие ребята шестых классов. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость и на другие числа.
Цель нашей исследовательской работы – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким расчетам и вычислениям.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.
2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.
Гипотеза: Мы предполагаем, что если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость и на другие числа.
Предмет исследования: Признаки делимости.
Блез Паскаль – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль родился 19 июня 1623 в Клермон-Ферран, в семье высокообразованного юриста. Отец Паскаля имел хорошее образование и решил самостоятельно заниматься образованием мальчика. Блез рос одарённым ребёнком и рано проявил выдающиеся математические способности. Его отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на разного рода пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции. Однако тут же запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углем выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясен: не знавший даже названий фигур, мальчик доказывал их свойства. Так постепенно раскрывался гений Блеза Паскаля.
Отец Блеза был сборщиком налогов, и, наблюдая за его бесконечными утомительными расчетами, Паскаль, в возрасте 19 лет, задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь этой работе. Он работал над этим устройством в течение трех лет. Устройство, называющееся «Паскалиной», выглядело как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колес. За несколько лет Паскаль построил около 50 вариантов своей машины. Паскаль получил лично от короля Патент на изобретение с сохранением авторских прав на ее изготовление и продажу. Изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства вычислительных устройств. Во Франции она оставалась в употреблении до 1799г., а в Англии даже до 1971 года.
Но это было далеко не все, на что оказался способен одаренный юноша. К 30-ти годам закончил ряд работ по арифметике, алгебре, теории вероятностей и теории чисел. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате «О характере делимости чисел».
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Простые и составные числа.
Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.
Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.
Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.
Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. Казалось бы, теперь все эти полезные приемы никому не нужны, ведь у каждого школьника всегда под рукой сотовый телефон со встроенным калькулятором, но, в некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время.
К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число.
Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.
Итак, самый простой и часто применяемый из них. Проверка, делится ли число на 2, не требует никаких вычислений: либо оно четное и делится на 2, либо нечетное и не делится на 2.
Если же решение задач по алгебре требует установить делимость числа на 3, то придется выполнить простейшие вычисления, а именно сложить все цифры числа и, если полученный результат делится на 3, то и само число делится на 3. Например, число 528 на 3 делится, так как 5 + 2 + 8 = 15, а 15 на 3 делится без остатка.
Следующий признак – деление на 4. Здесь стоит обратить внимание на последние две цифры – если образуемое ими число делится на 4, то и все число делится на 4. Кроме того, все числа, оканчивающиеся двумя нулями, так же делятся на 4.
Уже более интересно определять делимость на 6. В этом случае сначала стоит установить четность числа, так как нечетные числа на 6 вообще не делятся, а затем проверить его на делимость на 3, что, впрочем, тоже достаточно просто.
Кстати, упомянутое уже число 528, делится на 3 и, поскольку оно четное делится на 6.
Признаки делимости на 7.
А вот с делимостью на 7 вы вряд ли познакомитесь в школе. Дело в том, что это достаточно сложный признак. Если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делятся на 7, то само число делится на 7.
Например : рассмотрим число 154 (15*3+4=49, 49 делится на 7, значит и 154 делится на 7).
Понятно, что признак делимости на 7 в современных условиях не имеет большого практического значения, но зато всегда можно блеснуть своей эрудицией!
Признак делимости на 8.
Признак делимости на 8 очень похож на признак делимости на 4, но здесь нужно обратить внимание уже на 3 последние цифры. Если они нули или делятся на 8, то и все число тоже будет делиться на 8.
Признак делимости на 9.
Признаком делимости на 9 пользуются достаточно часто, и знать его нужно обязательно. Так же как и при проверке делимости на 3, необходимо сложить все цифры, и если полученное число делится на 9, то и исходное число тоже делится на 9.
Признак делимости на 10.
И, конечно же, всем известен признак делимости на 10. Просто в конце должен стоять ноль!
Признаки делимости на 11.
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Испытаем число 1 0 0 3 9 7.
Нумерация идет слева направо.
Можно проверить делимость числа на 11 другим способом :
Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Например, испытаем число 15235.
Разбиваем на группы
1. 52. 35 и складываем их:
88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.
Признак делимости на 12.
Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
858 делится на 13, так как делится на 13.
Признак делимости на 14.
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Признак делимости на 15.
Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.
Признак делимости на 19.
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.
Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Признак делимости на 25.
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25. Пример: Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.
Признак делимости на 50.
Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.
В ходе исследовательской работы мы:
1. Нашли и познакомились с различными источниками информации по теме делимость чисел.
2. Систематизировали полученную информацию.
3. Научились пользоваться признаками для определения делимости чисел.
Все это позволило более широко изучить тему делимости чисел, расширило наш математический кругозор.
Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих задач. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях.
В дальнейшем планируем продолжить изучение признаков делимости чисел. В частности планируем рассмотреть универсальный признак делимости, с помощью которого можно получить признак делимости на любое натуральное число.
Список используемой литературы.