Применение векторов в прикладных науках
Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.
Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками. В современной математике и её приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея – Ньютона (в её современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математике.
Очень широко векторы применяются в физике. Все физические величины делятся на скалярные (работа, путь, время, напряжение, сила тока и др.) и векторные (скорость, сила, напряженность электрического поля и др.)
Различают свободные и связанные векторы.
Свободные векторы (скорость, ускорение и др.) определяются лишь числовым значением и направлением.
Связанные векторы (сила и др.) – числовым значением, направлением и точкой приложения. При параллельном переносе связанного вектора получается другой вектор. Из сказанного следует, что силы и другие связанные векторы можно складывать лишь тогда, когда они приложены к одной точке.
Физкультура
Кроме наук, в которых векторы применяются в прямом значении, их ещё применяют и в переносном значении. Чаще всего для необходимого объяснения.
Активное противодействие противника приводит к постоянному изменению условий при осуществлении задуманных действий отдельного игрока и команды в целом, к быстрой смене игровых ситуаций в защите и нападении. Перед играющими возникают самые разнообразные задачи, требующие своевременного разрешения. Им необходимо в кратчайшие промежутки времени увидеть создавшуюся обстановку (расположение партнёров и противника, положение мяча или шайбы), оценить её, выбрать наиболее правильные действия и применить их. Это возможно осуществить при наличии у играющих определённых знаний, навыков, умений, двигательных и волевых качеств.
Двигательные навыки, у занимающихся спортивными играми, характеризуются большой подвижностью, динамичностью. Играющие должны уметь выполнять точные передачи, удары по воротам, броски мяча в корзину и другие действия различными способами и в разнообразных условиях.
В спортивных играх тренер не всегда может показать игрокам данный манёвр или просто какой-либо финт. Ему помогают модели поля, на которых он изображает перемещение игроков векторами.
Что такое Вектор в реальной жизни #95
В одной из прошлых статей я обещал рассказать о новой теории строения атомного ядра. Но сам рассказ, как бы мне не хотелось этого избежать, будет содержать в себе ряд математических терминов, без которых будет сложно вести предметную беседу. И самым основным таким понятием, о котором не у всех есть достаточно полное представление, является «вектор». Почти каждый знает, что это некоторая «стрелочка». Многие даже могут сказать, что в нашем обычном пространстве эта стрелочка определяется тремя числами. Но я попробую рассказать о нём более приближённо к реальности.
Поскольку физика занимается , или по крайней мере должна заниматься, только реальными процессами, которые происходят в реальной жизни, мы будем говорить о векторах из нашего быта. Но не всегда направление вектора, которое обычно принимают в физике, будет интуитивно понятным. И мы сейчас рассмотрим разные варианты.
Кроме направления у вектора есть ещё и его длина. Длина призвана определить математическим языком абсолютное значение скорости нашего течения. И если мы поставим, например, весы так, чтобы течение максимально сильно отклоняло их, то именно эту характеристику мы и будем считать скоростью, предварительно договорившись, какие у нас единицы измерения. В зависимости от разных параметров воды, весы должны отклоняться по-разному. Соответственно, сильнее течение, выше показания наших весов. Если быть более физически точным, то весы будут отклоняться скорее с квадратом скорости, но это не принципиально в данном случае.
Итак, мы получили вектор, который характеризует скорость течения реки. Ничего сложного. Но если мы захотим охарактеризовать некоторое вращение, то ситуация будет иной .
Допустим, у нас есть детская юла. И направление её вращения в физике договорились характеризовать совсем по другому принципу. Чтобы не рисовать «круговые» стрелочки и в целом более просто записывать математические выражения, учёные решили вращение определять некоторым вектором угловой скорости.
Вообще говоря, направление вектора будет таким, как будто мы вкручиваем обычный шуруп с традиционной резьбой. А остриё шурупа и будет направлением нашего вектора.
А в следующий раз с помощью таких векторов я покажу, что можно не бояться других более сложных математических терминов. Например дифференциальных операторов. Дивергенция, градиент и ротор оказываются совсем элементарными понятиями.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Векторы широко применяются в математике и физике. В геометрии с их помощью выводят уравнения плоскостей, прямых и других фигур, решают многие интересные задачи. Для этого данные в задаче соотношения между геометрическими и физическими объектами сначала как бы переводят на язык векторов. После чего преобразовывают полученные векторные равенства и снова переводят их на обычный язык геометрии или физики.
В школьной практике часто используют следующие равенства и утверждения:
1. Если прямые АВ и CD перпендикулярны, то АВ • CD = 0;
3. Если О — любая точка в пространстве, а М — середина отрез
ка АВ (рис. 63) или точка пересечения медиан треугольника ABC
(рис. 64), то соответственно
ОМ =±(рА + Ов) или ОМ=з (оА + ОВ + Об). Докажем последние равенства. Для любых трех точек справедливы равенства ОМ +М
Если сложим два первых из них и учтем, что MA + MB = 0, получим 2 • ОМ =ОА + ОВ, откуда ОМ= 1 2<рА + О
Если теперь сложим все три равенства и учтем, что MA + MB + + МС = б, получим, 3 • ОМ =ОА + ОВ + ОС, откуда
Приведем несколько примеров на применение векторов в математике и физике.
м
Рис. 63
1. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору ft (a; b; с), и проходящей через точку М(х0, у0, z0).
Решение. Пусть К(х, у, г) — произвольная точка рассматриваемой плоскости а
Итак, координаты х, у, г каждой точки плоскости а удовлетворяют полученному уравнению. Можно доказать также, что координаты любой точки, не лежащей на плоскости а, этому уравнению не удовлетворяют.
Пример 2. Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон.
| в |
 |
Доказательство. Пусть ABCD параллелограмм (рис. 66).
Ясно, что A^C = a + b, DB = a-b. Обе части этих равенств скалярно ум-
Найдем сумму квадратов диагоналей:
Теперь с учетом равенств a = АВ = DC
и b = AD = ВС, получим:
Что и требовалось доказать.
Решение. Так как К— точка пересечения медиан треугольника AtBD, то АК = 1 (аа[ + АВ + IB>.
Значит АйГ= ACj. Из последнего равенства следует, что точка К лежит на прямой ACV с другой стороны, |ACX| = 3 • |АК], следовательно, |АК|: \KCj\ = 1:2. Задача решена.
 |
| F, |
Пример 4. К концу кронштейна приложена сила F=mg=20H. ос = 40°. Найдите силу растяжения стержня АВ и силу сжатия стержня ВС (рис. 68).
Решение. Рассмотрим парал- лелограмм BDEC. Силы, действующие на стержни, направлены по сторонам параллелограмма BD и ВС. Считая, что в треугольнике ВСЕ известны
катет \ВЕ\ = 20 и угол ZCBE = 50°, найдем катет СЕ и гипотенузу ВС.
\BD\ = \СЕ\ = | F, | = 20 • tg50°« 23,8 (Н),
Пример 5. (На использование скалярного произведения в физике). Сила в 16 Н, действующая в направлении движения под углом 45°, передвинула тело на расстояние 4 м. Определите работу, совершенную при помощи этой силы.
Решение. Действующую силу выразим через F, а направление движения тела через s.
Тогда \р\ = 16, |3| = 4м, ф = (>3) = 45°.
Если для определения работы воспользуемся формулой А = | р I х х | s | • cos ф, получим А = 16 • 4 • cos45°« 49 (Дж).
Если направление действия силы будет равнонаправлено с направлением движения, то ф = 0, a cos ф = 1. Формула вычисления работы будет А = F
.Задачи
221.Угол между векторами АВ и CD равен 60°. Найдите угол между
векторами: 1) ВА и CD; 2) AS и DC.
222. ABC — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот.
Докажите, что ОА + ОВ+ОС = б.
223.С помощью векторов докажите, что диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.
224.Катер прошел в направлении к северо-западу 2 км, а потом,
повернув на север, еще 1 км. Выберите масштаб, постройте вектор
перемещения и найдите его длину.
225. ABCD — тетраэдр, у которого основанием является треугольник
ABC. Все ребра тетраэдра равны. Точка Е —середина отрезка DA,
226.С помощью векторного метода докажите, что диагонали
прямоугольника равны.
227.С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного
треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропор
циональное между двумя отрезками, на которые он делит гипо
тенузу.
228.Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его
основанию и равна половине основания.
229.Докажите, что средняя линия трапеции равна половине суммы
ее оснований.
230.Катер движется со скоростью 5 м/с перпендикулярно к берегу.
Ширина реки 720 м, скорость течения 1 м/с, вследствие чего за
каждые 5 м пройденного пути катер относит в сторону пер
пендикулярно курсу на 1 м. На сколько метров он уйдет в сторону,
пока достигнет противоположного берега?
231.У пирамиды ABCD ребра AD и ВС, BD и АС перпендикулярны.
Докажите, что ребра CD и АВ также перпендикулярны.