Презентация «Применение логарифмов в дорожном строительстве»
Взаимосвязь инноваций и традиций в развитии современной педагогики
Свидетельство каждому участнику
Скидка на курсы для всех участников онлайн-конференции
10 – 12 ноября 2020г 19:00 (МСК)
Описание презентации по отдельным слайдам:
Выберите книгу со скидкой:
Математика. Сложение и вычитание. Уровень 3 Kumon
Математика. Готовлюсь к школе с наклейками
Математика. Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ
СПЛОШНОЕ УЧЕНИЕ. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Смешная математика (математика с наклейками)
Посчитаем, поиграем (математика с наклейками)
Математика до школы (математика с наклейками)
МОЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. ПЕРВАЯ МАТЕМАТИКА
Все формулы мира: Как математика объясняет законы природы
Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную
Игра случая: математика и мифология совпадения
БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА
Взаимосвязь инноваций и традиций в развитии современной педагогики
Свидетельство каждому участнику
Скидка на курсы для всех участников онлайн-конференции
10 – 12 ноября 2020г 19:00 (МСК)
Номер материала: ДБ-236275
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.
Применение логарифмов в строительстве
d10 = 2 * math.pi * a**2
print(‘площадь поверхности рассматриваемой планеты равна ‘, d11).
Правдивость данной расчетной программы была проверена на примере планеты Венеры путем ввода в программу ее данных. Программа показала высокую точность и верность вычислений (см. приложение 2 )
Формулы помогают нам найти нужные значения, но для полного понимания сути существования логарифмов следует найти и изучить более наглядный материал. Навигация для этого самый лучший вариант.
Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы. Другими словами это кривая, в каждой точке имеющая путевой угол
С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии. Простой пример: самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает, и если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.
По определению локсодромии можно понять, что она представляет собой логарифмическую спираль на сфере, которая асимптотически приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.
Итогом была проведена практическая работа по построению логарифмической спирали различными способами. В приложении 3 показана спираль, построенная путем заложения в основу программы GeoGebra уравнения логарифмической спирали в полярных координатах ( ). В приложении 4 представлена логарифмическая спираль, построенная с помощью прямоугольников, стороны которых имеют определенное отношение. Длины их сторон представлены числовым рядом Фибоначчи. Такая же работа была проведена вручную.
Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.
Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.
Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.
Из этого следует, что логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и так далее.
То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Здесь будет рассмотрена только одна формула – формула Циолковского.
5. Незамысловатый фокус
Представьте, что в ваш город приехал фокусник, утверждающий, что может с легкостью вычислить корень высокой степени из многозначного числа. Перед представлением вы заготовили 31-ю степень какого-нибудь многозначного числа и в итоге получили пятизначное. Уверенные в том, что фокусник не сможет извлечь из него корень вы начинаете говорить «31-ая степень этого числа : пятизначное число …» и тут произошло чудо, этот волшебник уже написал вам ответ на доске, даже не услышав само число. Как так вышло?
На самом деле здесь нет ничего сложного. Есть только одно число, которое в 31-й степени дает пятизначное число. Однако даже если так, то откуда тот фокусник знал это и смог так быстро отыскать нужное число?
Для этого он заучил двузначные логарифмы для первых 15-20 чисел. Тем более эта задача сильно упрощается знанием того факта, что зная логарифмы 2,3 и 7, можно в уме легко найти логарифмы чисел первого десятка ( ).
Теперь уже перед вами стоит задача извлечь корень 64 степени из 20-значного числа. Получим: То есть значение лежит в интервале между или по-другому между 0,29 и 0,31. Такое значение только одно 0,3 – логарифм числа 2.
Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Бесспорно, будет нерационально использовать это при умножении 6 на 3, но при действиях с по-настоящему большими числами данное преимущество значительно упростит задачу.
Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.
В ходе работы поставленные задачи были выполнены, гипотеза подтверждена, проработана практическая часть и цель достигнута.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – Москва: Издательство: АСТ: 2017
3.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика – Фрязино: Век 2: 2015
4 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – СПб.: СЗКЭО, 2017
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов – Москва: государственное издательство физико-математической литературы, 1963
6. Энциклопедия для детей: Т.8. Астрономия. – 2-е изд., глав.ред. М.Д.Аксенова – М.: Аванта+, 1999
7. https://ru.wikipedia.org – Википедия, Свободная Энциклопедия
Приложение 1. Звездные величины. Расчет.
Приложение 2. Площадь планеты. Расчет и проверка.
Приложение 3. Логарифмическая спираль
Приложение 4. Логарифмическая спираль
Приложение 5. Формула Циолковского. Расчет и проверка.
Применение логарифмов в строительстве
Введение
«Какая наука может быть более благородна, более восхитительна,
более полезна для человечества, чем математика»
Б. Франклин
Следуя совету А.М.Горького, всякий, изучающий математику, должен не только вобрать в себя готовые положения этой науки, но и возможно глубже познать те пути, по которым шла человеческая мысль, создавая эти положения.
Поэтому я попытаюсь выяснить историю возникновения, развития логарифмов и значимость логарифмов в жизни человека. Дело в том, что на протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.
Тогда математики для облегчения вычислений придумали логарифмы. И три столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617), они верой и правдой служили астрономам и инженерам, геодезистам и морякам, сокращая время на вычисления и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас (1749 – 1827), удлиняя жизнь вычислителям. «Канон о логарифмах» Джона Непера начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них»
Проблема: общеизвестно, что в школьном курсе алгебры изучаются логарифмы и логарифмические функции. Мне стало интересно, что же скрывается за этим загадочным понятием, и в моей голове возникли вопросы: «Для чего нужны логарифмы? Логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?»
Цель: доказать, что существует практическое применение логарифмов в повседневной жизни.
Задачи:
Изучить литературу по данной теме.
Познакомиться с понятием логарифма и некоторыми свойствами логарифмов.
Провести опрос среди учителей гимназии им. С.В.Байменова и учеников 11-х классов по вопросу применения математики, в частности логарифмов, в жизни человека.
Проанализировать полученные данные.
Сделать вывод о значимости логарифмов в практической деятельности человека.
Актуальность: при изучении новых понятий или новых разделов математики мы, ученики, часто скептически и с некоторой долей недоверия воспринимаем ту или иную теорию, хотя преподаватель в общем виде объясняет значимость вводимого понятия. Мне пришлось и от взрослых людей услышать фразу: «Вот сколько лет живу и жду, когда же мне пригодятся эти синусы и логарифмы». Поэтому своей работой я должна доказать значимость такого понятия, как логарифм. И это, я считаю, действительно актуально.
Гипотеза: Если в математике существует теория логарифмов, то существующая теория должна где-то найти применение.
Объекты исследования: логарифмы и логарифмическая функция.
Предмет исследования: история возникновения логарифмов и некоторые области практического применения логарифмической функции человеком.
Основная часть
Попытаемся более широко показать применение теории логарифмов. Как было подчёркнуто во введении, во-первых, логарифмы сегодня позволяют упрощать вычисления. Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. С помощью логарифмов можно без труда решить задачи на экономику и банковское дело, различные задачи по физике, химии и биологии. Также для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке и т.п. Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский астроном Эдмунд Гюнтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку (рис.2). Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.
Логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 1980-х годов, и хотя теперь её практически вытеснили из инженерного обихода микрокалькуляторы, можно смело сказать, что без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.
Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах: следуя моде, производители некоторых марок выпустили модели со встроенной логарифмической линейкой, выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата (рис. 3). Производители обычно называют такие устройства «навигационная линейка». Их достоинство – можно сразу, в отличие от микрокалькулятора, получить информацию, соответствующую табличной форме представления (например, таблицу расхода топлива на пройденное расстояние, перевода миль в километры, подсчёт пульса, определение скорости поезда и тому подобное). Однако, в большинстве случаев логарифмические линейки, встроенные в часы, не оснащены шкалами для вычисления значений тригонометрических функций.
Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль (рис. 4, рис. 5).
Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью, потому что в любой ее точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против, то можно наблюдать кажущееся увеличение или уменьшение спирали.
Логарифмы «на слуху» и в ухе
Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия.
Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха (рис.7). Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.
Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими.
Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали (рис. 8). Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик (рис. 9). И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.
Что касается гидротехники, то здесь по логарифмической спирали изгибают трубу, которая подводит поток воды к лопастям турбины (рис. 11). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.
Пропорциональность длины дуги спирали разности длин радиус-векторов используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рис. 12, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причём одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.
Звезды, шум и логарифмы
Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины. Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5, легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости. Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Аналогично оценивается и громкость шума. Физическая «сила» этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. То есть громкость – десятичный логарифм его физической силы.
N- величина громкости, S – сила звука
Применение в сельском хозяйстве
Применение в информатике
Первая попытка измерения количества информации была предпринята в 1928 году американским ученым Ральф Хартли. Он попытался связать количество информации с числом возможных сообщений (исходов) и ввел определение логарифмической меры:
В 1948 году американский инженер и математик Клод Шеннон предложил более строгую и объективную количественную меру информации. В основополагающей работе «Математическая теория связи» он утверждал, что
семантические аспекты неуместны для измерения количества информации в технических системах. Шеннон связал количественную меру с вероятностями появления сообщений, являющихся своеобразными информационными квантами (порциями). При этом целесообразным оказалось применение логарифмической меры Хартли.
где I – количество информации, N – количество возможных событий, Pi – вероятности отдельных событий
Применение логарифмов в механике.
Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.
— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;
I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);
— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).
— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);
Экономика банковского дела
В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следует представленная задача: Задача 1. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?
Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле
. Значит Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет с небольшим.
Задача 2. Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в pраз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества Bединиц.
Выполняя логарифмирование уравнения по основанию 10, получим
Логарифмы в биологии
В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога.
Задача № 3
В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?
Решение. Для решения задачи используем полученные результаты задачи №2, в решаемой задаче
Значит, требуемое время соответствует значению выражения
, то есть примерно через 3 ч. 15 мин.
Заключение
Для того, чтобы доказать, что люди, зачастую, не видят практического применения логарифмов в окружающей нас реальности, я провела опрос среди учителей и учеников 11 класса.
Проанализировав ответы на заданные им вопросы, а именно: «Знаете ли вы сферы применения логарифмов?» и «Знакомы ли вы с понятием логарифмической спирали?», выяснилось, что большая часть учеников дали отрицательные ответы на оба вопроса. Из 18 опрошенных учителей, положительный ответ на первый вопрос дали 3 человека, а на второй – 2.
Как показало исследование, область применения логарифмов не ограничивается лишь техническими науками, также она играет важную роль в литературе, психологии и даже в сельском хозяйстве. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны, облегчить сложные и «громоздкие» вычисления и в этом им помогают логарифмы. С их помощью можно рассчитать интенсивность звука, яркость звезд, скорость летательного аппарата и даже предсказать землетрясения. В рамках данной работы рассмотрены различные сферы практического применения логарифмов. Конечно логарифмы не подойдут ни для составления меню на вечер, ни для расчёта затрат на поездку на море и даже ни для выбора себе тёплой куртки на зиму. Но вот если, к примеру, у вас за окном ходит электричка (согласно расписанию производя шум и заставляя вибрировать вещи) за тонкой стенкой совершает кульбиты соседская стиральная машинка, а в квартире под вами изучает гаммы мальчик со скрипочкой, то вы непременно захотите сделать шумо- и виброизоляцию. Конечно, вы можете сразу отправиться на рынок и выкупить какую-нибудь изоляцию и прибить её к стенам гвоздями, но с удивлением обнаружите, что звуки никуда не делись, а лишь стали чуть тише: электричка всё также грохочет, а скрипка противно скрипит. Конечно, вы можете нанять рабочую бригаду, вот только если бригадир её недостаточно специально обучен, и тоже не очень хорошо понимает, а зачем ему вся эта математика, то вы рискуете мало того, что потратиться, так ещё и остаться с предыдущим результатом. Третьим вариантом будет самостоятельный расчёт уровней шума и вибраций в комнатах и последующий расчёт минимальной толщины звуко- и виброизоляции. И для данного случая вам будет необходимо иметь представление о логарифмах. И когда вы рассчитаете толщину (и подберёте материал), то при правильном креплении вы обнаружите, что шум снизился до приемлемого уровня.
Использование логарифмов для удовлетворения практических нужд человека стало неотъемлемой частью нашей жизни. Метод использования логарифмов позволяет сократить и облегчить сложные вычисления, также он лежит в основе физических и сейсмологических процессов, протекающих в природе, помогает определить раздражимость человека в той или иной ситуации, даже люди, которые проживают в деревнях и сёлах и держат коров, с легкостью могут применять логарифмы для вычисления веса теленка. Логарифмы можно использовать при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный на данный момент.
Рассмотренные в проекте примеры убедительно показывают, что знание математики (в таком объёме) нужно не только человеку, непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других специальностей. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить расчёты является важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции.
Ни для кого не является секретом то, что население Земли растет с каждым годом, и возникают проблемы с используемым пространством. Большинство людей сегодня мечтают жить в мегаполисах с красивой архитектурой.
Современные города в большинстве своём строятся без учёта будущего роста и впоследствии возникают: пробки, загрязнения окружающей среды, снижение уровня здоровья населения.
Поэтому может быть следует строить города по принципу двойной логарифмической спирали. Кроме этого свойства логарифмической спирали можно использовать и в архитектуре. Примером этому может служить самая красивая и современная столица Казахстана – Астана. Можно построить совершенно новый мегаполис в нашей стране, с красивыми микрорайонами в виде спирали, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий спроектированные в виде спиралей.
Итак, в результате исследования можно сделать вывод, что логарифмы появились исходя из практических нужд человека, и имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам.
Использованная литература и источники
А.А.Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах (VIII – X) (издание второе, дополненное). Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. Москва, 1963.
Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 160 с.: ил.
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX – X кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с. – (Мир знаний).
Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для слушателей подготовительных отделений, абитуриентов и старшеклассников. Часть 2. – М.: Изд-во МГУ, 2010. – 435 с.
ПайтгенХ.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов: Образы комплексных динамических систем / Пер. с англ. под ред. А.Н.Шарковского. М.: Мир, 1993. – 176 с.
Буранов И. Ф. Логарифмическая спираль в технике и в природе // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 151-153.