- Конспект урока «Применение интеграла»
- Ход урока
- 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
- 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
- 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
- 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- 5. ДЛИНА ДУГИ
- 6. ЦЕНТР МАСС
- Применение интегралов в строительстве
- 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
- 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
- 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- 5. ДЛИНА ДУГИ
- 6. ЦЕНТР МАСС
Конспект урока «Применение интеграла»
Разделы: Математика
Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский
Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.
Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.
2. Решение упражнений.
Ход урока
Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.
2 ученик: Свойства интеграла
3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).
4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а 
х b, f(х) 
0 вычисляется по формуле 
см. рис. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу, то её площадь вычисляется по формуле 
, см. рис. При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи: а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис.) Площадь этой фигуры находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (см. рис.). Площадь находится по формуле 
. в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b(рис. ). г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у = 
(х) (рис.)
5 ученик: Решим задачу
7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью 
за промежуток времени от 
до 
вычисляется по формуле 
.
1. Скорость движения точки 
м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, 
. Следовательно, 
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 
м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле 
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 
S x,
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
5. ДЛИНА ДУГИ
где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = 
(у)(с у 
d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле 
(5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.
6. ЦЕНТР МАСС
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)
Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.
Вычисление производной
Вычисление интеграла
A=
;
A=
m –масса тонкого стержня
p – линейная плотность
m=
Q –электрический заряд;
Q=
S=
Q –количество теплоты;
Q=
Физические приложения интеграла
Итог урока: Завершили тему “Интеграл”, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, рассмотрели применение интеграла на практике, данные задачи могут встретиться на ЕГЭ, думаю, с ними вы справитесь.
Применение интегралов в строительстве
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Напомню свойства интеграла:
Как вычислять площадь криволинейной трапеции мы уже тренировались. Вычисление объемов тел хорошо разобрано в учебнике на стр.194 и 195.
А вот физическое приложение интегралов покажу подробнее.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью 
за промежуток времени от 
до 
вычисляется по формуле 
.
1. Скорость движения точки 
м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, 
. Следовательно, 
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью 
м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле 
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 
S x,
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
5. ДЛИНА ДУГИ
где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = 
(у)(с у 
d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле 
(5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.
6. ЦЕНТР МАСС
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами: