Задание 17 из профильной математики ЕГЭ. Задача о строительстве нового завода.
Задание номер 17 одно из самых неоднозначных на экзамене по математике. Школьной программой не предусмотрено отдельного времени для изучения некоторых понятий из условий таких задач. Непонимание самого текста условия часто приводит к тому, что школьник и не пытается разобраться.
Однако к концу одиннадцатого класса ученик обладает всеми необходимыми знаниями для решения. Другими словами, нет никаких новых тем, которые вы должны пройти, чтобы приступить к 17 заданию. Правда, это не очень утешает тех, кто не знает, с какой стороны подойти к задаче. Давайте разбираться.
Первое, что нам нужно сделать, это внимательно прочитать и понять, что у нас дано.
Построили завод. Затратили на строительство 220 млн. рублей. А теперь нам надо выяснить за сколько лет эти деньги вернутся, то есть строительство окупится.
1. Что все это значит?
Представьте, что завод выпускает, ну, к примеру, стулья. Предлагаю стулья, потому что в условии есть сведения, что в первый год цена за единицу продукции равна 9 000 рублей. Один стул = 9 000 рублей, звучит достаточно правдоподобно.
Что такое затраты на производство? Это сколько потратили денег на зарплату, на электроэнергию, на материалы для того, чтобы изготовить X тыс. стульев. Это какая-то сумма рублей, которая в нашей задаче равна выражению 0,5x^2+x+7 .
Когда мы изготовим какое-то количество стульев и продадим их, то прибыль от продажи будет равна px — (0.5x^2+x+7).
Что такое прибыль от продажи? Это вы изготовили x тыс. стульев, продали каждый по р рублей. Получили выручку x*p, вычли затраты на изготовление 0,5x^2+x+7 и получили прибыль px — (0.5x^2+x+7).
Чтобы уж совсем было все ясно, попробуем на каком — нибудь конкретном числе.
Например, вы решили сделать 1000 стульев в первый год, когда их цена будет 9000 рублей.
Считаем прибыль : 1000*9000-(0.5*1000^2+1000+7) = 8 498 993 рублей
А если сделать 2000 стульев?
2000*9000-(0.5*2000^2+2000+7) = 15 997 993 рублей
Что же, чем больше стульев, тем больше прибыль?
Ну если произвести 90 000 стульев, то у вас убыток получится, потому что затраты на производство превысят выручку.
90 000*9000-(0.5*90 000^2+90 000+7) = — 3 240 090 007 рублей
Не волнуйтесь, вам это все считать не надо. Я это делаю, чтобы наглядно вам показать, в чем смысл фразы «каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей». Нужно выпускать не как можно больше, а какое-то оптимальное количество изделий.
И вот, вы отличный экономист, все правильно спланировали, завод начал работать и каждый год получает наибольшую прибыль при заданных условиях.
Внимание, главный вопрос задачи:
За сколько лет окупится строительство завода?
На строительство завода мы, я напомню, потратили 220 млн. рублей. Другими словами, вас спрашивают: если складывать вашу ежегодную прибыль несколько лет, то через сколько лет она у вас будет равна стоимости завода, то есть 220 млн. рублей?
Надеюсь, с условиями задачи все предельно понятно. С экономикой закончили, приступаем к математике.
2. Как решать?
Конечно, нам нужно понять, как найти наибольшую прибыль каждого года. Как это сделать?
Помните 12 задание тестовой части? Вы же взялись за сложную часть уже умея решать тестовую, правда?
В 12 задании просят найти точки максимума и минимума функции или наибольшее и наименьшее значение функции.
Так вот, перед вами стоит почти точно такая же задача.
Прибыль в нашей задаче выражается вот так: px — (0.5x^2+x+7) . И мы будем искать наибольшее значение этой функции, точно как в 12 задании.
Преобразуем выражение, найдем от него производную, затем приравняем производную к нулю и найдем значение x. Если нужно повторить как посчитать производную, то смотрите вот тут .
При x = p — 1 наша функция будет иметь наибольшее значение. Давайте подставим вместо x его значение, то есть p -1 , и посчитаем, чему равно наибольшее значение функции.
Мы получили выражение, которое описывает наибольшую прибыль. Напоминаю, что р — это цена, которая меняется каждый год по условию задачи.
Вот и ответ : 5 лет потребуется, чтобы строительство завода окупилось.
Заметьте, для решения задачи не требуется никаких других знаний из математики, кроме тех, что вы уже применяли при решении тестовой части. Пробуйте, и у вас все получится.
Что ещё почитать об учебе:
- Что посмотреть при подготовке к ЕГЭ по математике в первую очередь —вот здесь
- Приемная кампания и проходные баллы. Чего ожидать? — о статистике прошлых лет —вот здесь
- Веселые (и не очень) истории про школу, экзамены, учителей, а также многое другое об образовании — самые популярные статьи канала —вот здесь.
- все статьи канала по тегу# битва за егэ
СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ АННУИТЕТА
Аннуитетом, или рентой, называется постоянный доход, получаемый через равные промежутки времени.
Примерами аннуитета являются: доход, приносимый облигацией с постоянным купоном без погашения, дивиденды по привилегированным акциям, доход, приносящий сданная в аренду недвижимость. Доходы, получаемые в разные моменты времени, имеют разную «ценность» сегодня. Современная стоимость аннуитета, таким образом, складывается из современных стоимостей всех будущих доходов:
(14).
Здесь PV — современная стоимость аннуитета, PMT — регулярный ежегодный доход, n — количество лет, в течение которых поступали платежи, i — ставка дисконтирования. Просуммировав геометрическую прогрессию в правой стороне (14), находим:
(15).
Коэффициент, входящий в правую часть последнего соотношения
(16)
представляет собой коэффициент дисконтирования аннуитета.
Соотношение (15) определяет стоимость аннуитета в том случае, когда постоянные доходы поступают один раз в конце года. Иначе, можно утверждать, что формула (15) определяет рыночную стоимость объекта, приносящего ежегодный постоянный доход.
Пример 6. Облигация приносит ежегодный доход в 1000 руб. на протяжении 5 лет. Какова текущая стоимость облигации, если ставка дисконтирования равна 12%
Решение:
Соотношения (20), (21) получены в предположении, что доходы поступают один раз в конце года. Если же постоянные выплаты PMT происходят m раз в году (каждый раз в конце периода), то можно записать
(17).
Всего в течение n лет будет произведено n * m выплат.
Суммирование в формуле (17) приводит к следующему выражению
(18).
i — эффективная процентная ставка, то есть ставка, определяющая годовую норму роста.
Пример 7. Вернемся к Примеру 6, изменив немного условия. Пусть ценная бумага приносит ежегодный доход в 1000 рублей, однако выплаты происходят ежеквартально, то есть по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Эффективная процентная ставка дисконтирования равна 12%. Какова рыночная стоимость ценной бумаги.
Решение: Имеем: PMT = 250, i = 0.12, n = 5, m = 4.
Мы видим, что стоимость ценной бумаги несколько выше, чем в условиях Примера 6, хотя суммарный ежегодный доход 1000 руб. одинаков в обоих случаях. Это связано с тем, что в случае ежеквартального поступления дохода выплаты приблизились к начальному моменту времени и, тем самым, увеличили современную стоимость ценной бумаги.
Если вместо эффективной ставки воспользоваться номинальной ставкой j c начислением процентов m раз в году, то вместо (23) можно записать:
(19)
(всего n * m слагаемых), или
(20).
Пример 8. В условиях Примера 7 считать ставку дисконтирования номинальной j = 12% при ежеквартальном начислении процентов (m = 4).
Решение: Имеем: PMT = 250, j = 0.12, n = 5, m = 4.
Тема 5: «Анализ и оценка денежных потоков»
1. Оценить проект вложения 35 тыс. д. е., если в течение пяти лет будут
получены ежегодно по 18 тыс. д. е. (приток минус отток).
a) NPV; б) IRR; в) PI; г) PP.
2. Первоначальные вложения составили 250 тыс. д. е. ежегодный доход 30 тыс.
д. е:, текущие платежи 9,5 тыс. д. е. Срок действия — 5 лет, г = 10 %.
Определите:
a) NPV; б) IRR; в) PI; г) PP.
3. Сравните два инвестиционных предложения и делайте вывод о том, при
каких значениях ставки сравнения предпочтительнее первое предложение.
Денежные потоки по годам
| Год | |||||
| Предложение 1 Предложение 2 | -23616 -23616 | 10000 0 | 10000 5000 | 10000 10000 | 10000 32675 |
| 4. Денежный поток для некоторого инвестиционного предложения имеет вид: | |||||
| Год | |||||
| Денежный поток | -1600 | — 10000 |
Определите IRR для данного проекта.
5. Определить относительные показатели экономической эффективности инвестиционного проекта. Выбрать наиболее привлекательный проект
| Проект | I | P1 | P2 | PV | NPV | IR |
| А | -100 | |||||
| Б | -1000 |
Прогнозируемая ставка – 10%
6. Определить экономическую эффективность инвестиционного проекта
| I |
| Поступление денежных средств |
| Отток денежных средств |
Прогнозируемая ставка – 5%.
7. Первоначальные вложения составили 250 тыс. д. е. ежегодный доход 30 тыс. д. е., текущие платежи 9,5 тыс. д. е., срок действия — 5 лет, г = 10 %.
Определите: a) NPV; б) IRR; в) PI
8. Оценить проект вложения 35 тыс. д. е., если в течение пяти лет будут
получены ежегодно по 18 тыс. д. е. Рассчитайте: a) NPV;б)IRR; в) PI
9. Вы имеете возможность профинансировать проект продолжительностью 3 года. Величина требуемых инвестиций — 10000 долл., доход по годам ожидается в размере соответственно 5000, 4000 и 3000 долл. Стоит ли принимать это предложение, если приемлемая ставка дисконтирования равна 10%.
10. Предприниматель намерен приобрести грузовик стоимостью 150 тыс. руб.
Предполагаемый срок эксплуатации — 5 лет. Ежегодные эксплуатационные
расходы — 10 тыс. руб. Предполагаемый доход от эксплуатации грузовика 25
тыс. руб. в год. Выгодна ли эта инвестиция? При каком критическом значении
коэффициента дисконтирования инвестиция становится невыгодной?
11. Проект, требующий инвестиций в размере 160000 долл., предполагает
получение годового дохода в размере 30 000 долл. на протяжении 15 лет.
Оценить целесообразность такой инвестиции, если коэффициент
дисконтирования — 15%.
12. Проект, требующий инвестиций в размере 150000 долл., предполагает
получение годового дохода в размере 30 000 долл. на протяжении 15 лет. По
истечении этого срока в течение года будут проводиться работы по ликвидации
последствий проекта, в результате чего в 16-м году будет отток средств в сумме
10 000 долл. Используя критерий NPV, оцените целесообразность принятия
проекта, если коэффициент дисконтирования — 8%.
13. Проект, рассчитанный на 15 лет, требует инвестиций в размере 150000 долл.
В первые 5 лет никаких поступлений не ожидается, однако в последующие 10
лет ежегодный доход составит 50 000 долл. Следует ли принять этот проект,
если коэффициент дисконтирования равен 15%?
Формулы для расчета
Чистая текущая стоимость
Чистая текущая стоимость, чистый приведенный доход, чистый дисконтированный доход, интегральный эффект или Net Present Value, NPV. Определяют дисконтированием (при постоянной ставке процента и отдельно для каждого года) разницы между годовыми оттоками и притоками денег по проекту, накапливаемыми в течение жизни проекта. Эта разница дисконтируется к моменту времени, когда предполагается начало осуществления проекта
где Сft — денежный поток в году t, Т — экономический срок жизни инвестиций.
Формулу можно модифицировать, тогда из состава денежного потока выделяют капитальные вложения (первоначальные вложения в проект), финансируемые или из уставного капитала, либо из заемных средств) и обозначив их С0, также обозначив через (Cft) денежный поток в году t, считая от даты начала инвестиций, подсчитанный без капиталовложений получим:
NPV = å (1+r) t — å (1+r) t , (2)
Таким образом NPV можно рассматривать и как разницу между отдачей капитала и вложенным капиталом.
NPV показывает баланс между результатами и затратами, притоками и оттоками денежных средств:
если NPV > 0 проект одобряют;
если NPV t +å * (1+r) t = 0 (3)
При отсутствии финансового калькулятора применяют метод последовательных интеграций. Если обозначить NPV = f(r)
где r1 — значение нормы дисконтирования, при которой f(r1) > 0;
r2 — значение нормы дисконтирования, при котором f(r2)